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Math'@ctivité 2D

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Fractale Arbre de Pythagore 1




Image d'un arbre de Pythagore (fractale).



Cette fractale, arbre de Pythagore est composée uniquement de carrés et de triangles isocèles rectangles. Elle est une Math'@ctivité 2D puisqu'elle est une figure plane.
Sa construction peut se faire à la main avec des instruments de géométrie traditionnels qui sont ici : la règle graduée, l'équerre et le compas.
Elle est peut se faire plus simplement à l'ordinateur, notamment pour les plus petites pièces qui sont nombreuses. Les logiciels de géométrie dynamique 2D : 'GeoGebra' (logiciel libre) ou 'geoplanW' (dont l'activX est gratuit ainsi que la version antérieure à celle de 2003), à imprimer directement sur un transparent.


Le résultat final est un bel arbre d'une taille imposante si on choisi de prendre les mesures données dans la fiche ci-après. C'est un assemblage de pièces planes, c'est-à-dire en 2 dimensions (2D).

Infos... Fractale Arbre de Pythagore n01, petite histoire... Image.

Pythagore, de Samos (vers 570 – 480 avant J.-C.), philosophe et mathématicien grec, est le fondateur d’une école mathématique et mystique, l’école pythagoricienne qui a aussi le caractère d’une secte(1). L’arbre ci-contre est une illustration du théorème de Pythagore puisqu’il est une fractale plane composée de triangles rectangles. Ces triangles rectangles sont, à chaque fois, inclus dans des triplets de carrés.
La construction de l’arbre débute par un carré sur lequel on construit et accole deux carrés, sur lesquels on construit et accole deux autres carrés soient 4, sur lesquels on construit et accole deux nouveaux autres carrés soient 8, sur lesquels on […], et ainsi de suite. De même, on peut refaire l’ensemble de la figure obtenue en double et accoler les deux ensembles au-dessus d’un carré, et ainsi de suite.

Fractal (e, als) est un adjectif du latin fractus qui signifie brisé(1). En 1975, dans son livre Les objets fractals : forme, hasard et dimension(2), ce mot est inventé par Benoît Mandelbrot, mathématicien franco-américain, né à Varsovie le 20 novembre 1924 et décédé à Cambridge le 14 octobre 2010. Actuellement, dans le langage « populaire » on l’utilise plutôt comme un nom au féminin : une fractale, ce qui sous-entend géométrie fractale. Les fractales seraient une curiosité mathématique depuis trois siècles avant J.-C.(3). Il ne faut pas chercher à définir une fractale puisqu’il s’agit d’étudier un objet fractal dans le cadre de la géométrie fractale. Des notions complexes (de Benoît Mandelbrot) imageant les fractales peuvent cependant être citées : « auto-similarité » et « auto-affinité »(4).

A la fin du XVe siècle, Léonard De Vinci fait cette figure à main levée dans l’un de ses carnets de recherche. Sur son illustration, il avait tracé des diagonales permettant de montrer que la somme des aires des deux petits carrés HLGC et GJKE est égale à l’aire du carré CEDA(5).

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(1) : Pythagore, pythagoricien(ne), fractal (e, als), dictionnaire Le Petit Larousse illustré 2011, 2010.
(2) : MANDELBROT, B., 1995, Les objets fractals : forme, hasard et dimension, Flammarion, 4ème édition.
(3) : BUSSER, E., 2004, Une idées qui a fait son chemin : les fractales, HS n°18, Bibliothèque Tangente, Editions POLE – Paris, p. 6-9
(Les fractales – Arts, Nature et Modélisation, HS n°18, Bibliothèque Tangente, Editions POLE – Paris, 2004).
(4) : MANDELBROT, B., 1997, Fractales, hasard et finances, Champs Flammarion, Paris.
(5) : DELEDICQ, J-C. & A., 2010, Léonard De Vinci, Les malices du Kangourou Lycées, ACL - Les éditions du Kangourou.

Matériel nécessaire :

  • - règle graduée, équerre et compas ;
  • - 31 feuilles A4 et une A3 de 160g/m2, ruban adhésif et pâte à fixe ;
  • - ciseaux, crayon à papier et crayons de couleur ou peinture.

  • Programme de construction (savoirs et savoir-faire mathématiques : carré ; symétrie axiale ; triangle inscrit dans un demi-cercle de base le diamètre ; théorème de Pythagore ; racines carrées ; géométrie fractale ; et le vocabulaire géométrique correspondant aux notions précitées.) :

  • Construction du patron d'une pièce de l’arbre « verte claire et foncée » (à faire 32 fois) :
  • - construire un carré ACED de côté 5 cm ;

    - construire le triangle CGE rectangle isocèle en G ;

    - construire le carré EGJK ;

    - construire le triangle KJN rectangle isocèle en N ;

    - construire le carré KNUV ;

    - par la symétrie axiale d’axe (d2) construire le carré NJST ;

    - par la symétrie axiale d’axe (d2) construire le carré NJST ;

    - par la symétrie axiale d’axe (d1), construire les polygones : CGLH, HML, HMPO et LMQR.


  • Programme de construction des autres pièces de forme pentagonale ACGED :
  • - 16 pièces « jaunes » telles que CG = 5 cm ;

    - 8 pièces « oranges » telles que CG = 7,1 cm ;

    - 4 pièces « rouges » telles que CG = 10 cm ;

    - 2 pièces « marron » telles que CG = 14,1 cm ;

    - 1 pièce « marron foncé » telles que CG = 20 cm.

    - le plus grand des carrés sera de côté 28,3 cm. (Cette dernière pièce utilisera 2 feuilles : une A4 et une A3)


    Découpage et assemblage :

    Découper les pièces, les colorier ou les peindre, et les assembler (avec du ruban adhésif) comme ci-dessous. L’arbre peut être fixé sur un mur à l’aide de la pâte à fixe. La hauteur de l’arbre est environ 106,1 cm et sa largeur est environ 155,6 cm. Et qu’elle est l’aire totale de l’arbre ?


    Et si cela est difficile : télécharger et imprimer simplement la fiche ci-après (pourquoi pas mise en format poster avec votre imprimante).

    Logiciel de géométrie 2D en ligne :

    Lien vers InstrumenPoche Lien vers TracenPoche Lien vers GeoGebra (Cliquer sur le logo du logiciel en ligne souhaité).

    Fiche de la Math'@ctivité 2D Fractale Arbre de Pythagore n01 à télécharger :

    La fiche complète au format pdf : Image de la fiche.

    Fiche du modèle à télécharger :

    Cliquer sur l'image pour télécharger : Image de la fiche.

    Questions - réponses :

    Image d'un arbre de Pythagore jusqu'à la 10-ième itération (fractale).

    Quelles sont les dimensions des arbres ci-dessous (cf. photographies) ?
    Et si le plus grand d'entre eux devenait une branche, quelles seraient les dimensions du nouvel arbre ?

    Faire faire les calculs avec Algobox à la page : 01p02-fractale-arbre-pythagore-1-dim-nbres_alg.html


    Un arbre de Pythagore qui pousse comme un cheveu. Petite animation réalisée avec GeoGebra :


    Utilisation de cette Math'@ctivité dans l'enseignementUtilisation de cette Math'@ctivité 2D dans l'enseignement des mathématiques :

    Article (16 pages) de Carole LE BELLER, IREM de Rennes & Ifé : Un arbre de Pythagore : 01p02-fractale-arbre-pythagore-1-c_le_beller.pdf

    Faire faire des calculs avec Algobox à la page : 01p02-fractale-arbre-pythagore-1-dim-nbres_alg.html

    Les annexes de l'article précédent : 01p02-fractale-arbre-pythagore-1-c_le_beller-les-annexes.pdf

    La fiche descriptive de l'activité : 01p02-fractale-arbre-pythagore-1-fiche_descriptive-irem_rennes-ife.pdf

    Un bilan de l'activité testé par un collège de l'IREM de Rennes & Ifé sur le Site de l'IREM de Rennes à l'adresse : http://www.irem.univ-rennes1.fr/

    Réalisations en images :

    Pour voir une réalisation collective de jeunes de 4ème, cliquer sur l'une des images suivantes. Elle vous dirigera vers une image agrandie issue de mon site 123portail.education.free.fr.
    Image, Image. Image, Image. Image, Image.

    Date de dernière mise à jour de cette page : 17/07/2013.


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