Le résultat final est un bel arbre d'une taille imposante si on choisi de prendre les mesures données dans la fiche ci-après. C'est un assemblage de pièces planes, c'est-à-dire en 2 dimensions (2D).
Infos... Fractale Arbre de Pythagore n01, petite histoire... 
Pythagore, de Samos (vers 570 – 480 avant J.-C.), philosophe et mathématicien grec, est le fondateur d’une école mathématique et mystique, l’école pythagoricienne qui a aussi le caractère d’une secte(1).
L’arbre ci-contre est une illustration du théorème de Pythagore puisqu’il est une fractale plane composée de triangles rectangles. Ces triangles rectangles sont, à chaque fois, inclus dans des triplets de carrés.
La construction de l’arbre débute par un carré sur lequel on construit et accole deux carrés, sur lesquels on construit et accole deux autres carrés soient 4, sur lesquels on construit et accole deux nouveaux autres carrés soient 8, sur lesquels on […], et ainsi de suite. De même, on peut refaire l’ensemble de la figure obtenue en double et accoler les deux ensembles au-dessus d’un carré, et ainsi de suite.
Fractal (e, als) est un adjectif du latin fractus qui signifie brisé(1). En 1975, dans son livre Les objets fractals : forme, hasard et dimension(2), ce mot est inventé par Benoît Mandelbrot, mathématicien franco-américain, né à Varsovie le 20 novembre 1924 et décédé à Cambridge le 14 octobre 2010. Actuellement, dans le langage « populaire » on l’utilise plutôt comme un nom au féminin : une fractale, ce qui sous-entend géométrie fractale. Les fractales seraient une curiosité mathématique depuis trois siècles avant J.-C.(3). Il ne faut pas chercher à définir une fractale puisqu’il s’agit d’étudier un objet fractal dans le cadre de la géométrie fractale. Des notions complexes (de Benoît Mandelbrot) imageant les fractales peuvent cependant être citées : « auto-similarité » et « auto-affinité »(4).
A la fin du XVe siècle, Léonard De Vinci fait cette figure à main levée dans l’un de ses carnets de recherche. Sur son illustration, il avait tracé des diagonales permettant
de montrer que la somme des aires des deux petits carrés HLGC et GJKE est égale à l’aire du carré CEDA(5).
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(1) : Pythagore, pythagoricien(ne), fractal (e, als), dictionnaire Le Petit Larousse illustré 2011, 2010.
(2) : MANDELBROT, B., 1995, Les objets fractals : forme, hasard et dimension, Flammarion, 4ème édition.
(3) : BUSSER, E., 2004, Une idées qui a fait son chemin : les fractales, HS n°18, Bibliothèque Tangente, Editions POLE – Paris, p. 6-9
(Les fractales – Arts, Nature et Modélisation, HS n°18, Bibliothèque Tangente, Editions POLE – Paris, 2004).
(4) : MANDELBROT, B., 1997, Fractales, hasard et finances, Champs Flammarion, Paris.
(5) : DELEDICQ, J-C. & A., 2010, Léonard De Vinci, Les malices du Kangourou Lycées, ACL - Les éditions du Kangourou.
Pour plus d'infos, lire mon article dont une partie a été publiée dans le Bulletin de l'APMEP. Num. 509. p. 265-276. "Un arbre de Pythagore qui pousse comme un cheveu", un fichier pdf à télécharger accompagné d'un second qui sont les annexes (cliquer sur les visuels ci-après) :
Matériel nécessaire :
- règle graduée, équerre et compas ;
- 31 feuilles A4 et une A3 de 160g/m2, ruban adhésif et pâte à fixe ;
- ciseaux, crayon à papier et crayons de couleur ou peinture.
Programme de construction (savoirs et savoir-faire mathématiques : carré ; symétrie axiale ; triangle inscrit dans un demi-cercle de base le diamètre ; théorème de Pythagore ; racines carrées ; géométrie fractale ; et le vocabulaire géométrique correspondant aux notions précitées.) :
Construction du patron d'une pièce de l’arbre « verte claire et foncée » (à faire 32 fois) :
- construire un carré ACED de côté 5 cm ;
- construire le triangle CGE rectangle isocèle en G ;
- construire le carré EGJK ;
- construire le triangle KJN rectangle isocèle en N ;
- construire le carré KNUV ;
- par la symétrie axiale d’axe (d2) construire le carré NJST ;
- par la symétrie axiale d’axe (d2) construire le carré NJST ;
- par la symétrie axiale d’axe (d1), construire les polygones : CGLH, HML, HMPO et LMQR.
Programme de construction des autres pièces de forme pentagonale ACGED :
- 16 pièces « jaunes » telles que CG = 5 cm ;
- 8 pièces « oranges » telles que CG = 7,1 cm ;
- 4 pièces « rouges » telles que CG = 10 cm ;
- 2 pièces « marron » telles que CG = 14,1 cm ;
- 1 pièce « marron foncé » telles que CG = 20 cm.
- le plus grand des carrés sera de côté 28,3 cm. (Cette dernière pièce utilisera 2 feuilles : une A4 et une A3)
Découpage et assemblage :
Découper les pièces, les colorier ou les peindre, et les assembler (avec du ruban adhésif) comme ci-dessous.
L’arbre peut être fixé sur un mur à l’aide de la pâte à fixe. La hauteur de l’arbre est environ 106,1 cm et sa largeur est environ 155,6 cm.
Et qu’elle est l’aire totale de l’arbre ?
Et si cela est difficile : télécharger et imprimer simplement la fiche ci-après (pourquoi pas mise en format poster avec votre imprimante).
Logiciel de géométrie dynamique en ligne :
(Cliquer sur le logo).
Fiche de la Math'@ctivité 2D Fractale Arbre de Pythagore n01 à télécharger :
La fiche complète au format pdf : 
.
Fiche du modèle à télécharger :
Cliquer sur l'image pour télécharger : 
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Questions - réponses :
Quelles sont les dimensions réelles des arbres dont les photographies sont tout en bas de cette page web ?
Et si le plus grand d'entre eux devenait une branche, quelles seraient les dimensions du nouvel arbre ?
Un arbre de Pythagore (1) (avec des carrés et des triangles rectangles isocèles) qui pousse comme un cheveu. Cliquer sur l'image pour voir en plus grand l'animation réalisée avec GeoGebra.
Faire faire les calculs (algorithme Algobox) en cliquant sur le lien ou le visuel ci-dessous et suivre les consignes :
1) cliquer sur "Lancer algorithme" ;
2) entrer par exemple 2.5 pour la longueur c des plus petits carrés ;
3) entrer par exemple 7 pour le nombre d'itérations n.
Le lien donnant accès à l'algorithme :
01p02-fractale-arbre-pythagore-1-dim-nbres_alg.html
Un arbre de Pythagore (2) (avec des hexagones et des triangles rectangles isocèles) qui pousse comme un cheveu. Cliquer sur l'image pour voir l'animation réalisée avec GeoGebra :
Un arbre de Pythagore (3) (avec des carrés et des triangles rectangles). Cet arbre de Pythagore est asymétrique. Cliquer sur l'image pour voir l'animation réalisée avec GeoGebra :
Utilisation de cette Math'@ctivité 2D dans l'enseignement des mathématiques :
Article de Carole LE BELLER publié en 2014 dans le Bulletin de l'APMEP. Num. 509. p. 265-276. : Un arbre de Pythagore : http://numerisation.univ-irem.fr/AAA/AAA14035/AAA14035.pdf
et la fiche Publimath à l'adresse : http://publimath.irem.univ-mrs.fr/biblio/AAA14035.htm
Article (16 pages) de Carole LE BELLER, IREM de Rennes & Ifé (article légèrement différent de celui publié dans le bulletin de l'APMEP) : Un arbre de Pythagore qui pousse comme un cheveu : 01p02-fractale-arbre-pythagore-1-c_le_beller.pdf
Faire faire des calculs avec Algobox à la page : 01p02-fractale-arbre-pythagore-1-dim-nbres_alg.html
Les annexes de l'article précédent : 01p02-fractale-arbre-pythagore-1-c_le_beller-les-annexes.pdf
La fiche descriptive de l'activité : 01p02-fractale-arbre-pythagore-1-fiche_descriptive-irem_rennes-ife.pdf
Un bilan de l'activité testée par un collège de l'IREM de Rennes & Ifé est publié sur le Site de l'IREM de Rennes, Groupe de Recherche Formation Démarches d'investigation au collège : vers un changement de pratique ? (2011_2013) : http://www.irem.univ-rennes1.fr/
Réalisations en images :
Pour voir une réalisation collective de jeunes de 4ème, cliquer sur l'une des images suivantes.
Elle vous dirigera vers une image agrandie issue de mon site 123portail.education.free.fr.
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Réalisations 3D en images :
Cliquer sur l'image pour avoir accès au site de l'image.
Un article d'Etienne GHYS et de Jos LEYS, spécialiste des fractales 3D. Issu du site du CNRS.
Une activité collective réalisée en carton par des collégiens du collège public Georges Brassens du Rheu (35) lors de la semaine des mathématiques en 2015. Une activité proposée par Ronan Le Matelot suite au stage "Arts visuels et mathématiques" de Carole Le Beller (Irem de Rennes) au Collège Les Ormeaux de Rennes (stage PAF Académie de Rennes) en 2013-2014.
Un arbre pythagoricien modélisé en 3D avec OpenScad et imprimé en 3D par Matthieu Devillers lors du stage "Solides mathématiques en réalité augmentée 3D et impression 3D" de Carole Le Beller (Irem de Rennes) et Philippe Bernier à la Maison Pour La Science Bretagne en 2019 (stage PAF Académie de Rennes).
Des fichiers d'impression 3D et de découpe automatique ou laser sont disponibles sur mon site à l'adresse : http://www.art3d.fr.
Math'@ctivités mouvement : Infos 
Mobile trochoïdal losangé (carte Pop-Up)
Nénufar
Math'@ctivités 3D : Infos ;
Anamorphose Cylindrique ;
Ballon de Foot 1 ;
Boîte de Kepler-Vasarely ;
Boîte Rosace 3D ;
Casse-tête polyèdre étoilé ;
Chapeau du Bonheur ;
Cœur tressé ;
Dés solides de Platon ;
Flexacube ;
Flexagone ;
Hexabelle de nuit ;
Kaléïdocycle d'ordre 6 ;
Onglet marque-page ;
Planètorange ;
Math'@ctivités 2D : Infos 
Fractale Arbre de Pythagore 1
Tangram
Trous d'aiguilles géométriques d'or
Math'@ctivités numériques : Infos 
Loto des fractions
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