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Le kaléïdocycle est une Math'@ctivité 3D.
Son patron peut se faire à la main avec des instruments de géométrie traditionnels qui sont ici : la règle graduée, l'équerre et le compas.
Il peut aussi se faire à l'aide de l'ordinateur pour le patron en 2D ou pour sa modélisation en 3D avec, entre autres, le logiciel de géométrie dynamique libre 'GeoGebra'.

Le résultat final est un anneau de 6, 8 ou 10 tétraèdres (voire plus) selon le cas choisi avec des motifs parfois à la façon d'Escher. Le kaléïdocycle est un objet mathématique et artistique manipulable. Il est un objet en 3 dimensions (3D). Un kaléïdocycle irrégulier fermé d'ordre 6 est manipulé dans la vidéo ci-contre. Le modèle présenté est un agrandissement de celui dont le patron est détaillé ci-dessous.

Vidéos... Si dessous d'autres vidéos montrent des kaléïdocycles manipulés dont
- Les coupes d'un kaléïdocycle irrégulier fermé d'ordre 6 par rapport à deux plans de symétrie successifs :

Infos... Pourquoi ce nom kaléïdocycle ? :

"Kaléïdocycle" vient du grec. kalos : beau, eidos : aspect, et kuklos : cercle.

Un "kaléïdocycle d’ordre 6" est un anneau de 6 tétraèdres ayant pour faces des triangles. Lorsqu'il est régulier, les triangles sont équilatéraux. Le kaléidocycle, présenté dans cette page est un kaléïdocycle irrégulier, les faces des tétraèdres sont isocèles. Lorsqu’on le manipule, l’anneau subit une rotation de 180° sur lui-même. Cette rotation "retourne" chaque tétraèdre mais conserve l'anneau dans son ensemble. Ce kaléïdocycle laisse apparaître 4 "faces" différentes constituées chacune de 3 losanges composés de deux triangles isocèles chacun (une face de chaque tétraèdre, soient 6 triangles). Ces faces sont agencées d’une autre façon lorsqu’on retourne le kaléïdocycle. La figure du modèle de cette fiche fait l’objet d’une Math’@ctivité 2D : « Rosace trilobée pour un kaléïdocycle irrégulier d’ordre 6 ».

Le modèle de kaléidocycle de cette page web est construit, entre autres, à partir de rectangles dit "rectangles barlongs".
Le rectangle dit « rectangle barlong » (adj. Lat. bis, deux fois, et long) est un rectangle composé de deux carrés accolés identiques. Ce rectangle permet de tracer le rectangle d’or et de déterminer le nombre d’or phi, la divine proportion (avec phi = 1,618 034). Ce tracé détermine aussi les éléments de la « quine » des bâtisseurs romans (la paume et la palme en fonction du pied). L’angle aigu en le sommet principal de chaque triangle isocèle est d’environ 53,13°, angle ayant un lien avec le nombre d’or.
(cf. livre : La géométrie du nombre d’or de Robert Vincent – Chalagram Edition, 3ème édition, mars 2001).


Pour plus d'informations :
Article paru dans le Bulletin Vert n°493 de l'APMEP, compte rendu d'un atelier (le n°107) aux journées nationales à Paris en 2010 : Les kaléïdocycles irréguliers fermés de Carole LE BELLER (fichier pdf à télécharger).

Matériel nécessaire pour la construction de ce kaléïdocycle :

instruments de géométrie : règle graduée, équerre et compas ;

1 feuille A4 (grammage : environ 80g/m² ou 90g/m²) ;

colle à papier ;

ciseaux, crayon à papier et crayons de couleur.

Programme de construction (savoirs et savoir-faire mathématiques : propriétés du rectangle et du losange, quadrilatère, la médiatrice d’un segment, les diagonales et le centre d’un rectangle, triangle isocèle en un sommet, carré, un point d’intersection entre deux droites, symétrie axiale, tétraèdre, et le vocabulaire géométrique correspondant. Orientation paysage et position horizontale.) :

Construction du patron du kaléïdocycle irrégulier d'ordre 6 :

- placer le point O₁ en haut du côté gauche de la feuille A₄ orientation paysage ;

- construire un rectangle O₁O₃B₃B₁ dit « rectangle barlong(1) » de longueur 8 cm et de largeur 4 cm. Sa longueur sera à l’horizontale ;

- tracer ses diagonales. Leur point d’intersection A₂ est le centre de O₁O₃B₃B₁ ;

- tracer la médiatrice du segment [O₁O₃]. Ses deux points d’intersection avec les deux longueurs du rectangle sont O₂ et B₂. Les quadrilatères O₁O₂B₂B₁ et O₂O₃B₃B₂ sont deux carrés accolés identiques ;

- reproduire la figure obtenue deux fois sachant que le second rectangle barlong O₃O₅B₅B₃ a l’une de ses largeurs commune avec celui déjà construit et le troisième O₅O₇B₇B₅ a l’une de ses largeurs commune avec le second ;

- construire la figure symétrique par rapport à l’axe [B₁B₇] de l’ensemble des figures ;

- les centres des trois rectangles barlongs, nommés B₁B₃D₃D₁, B₃B₅D₅D₃ et B₅B₇D₇D₅, sont C₂, C₄ et C₆ ;

- construire trois losanges D₁C₂D₃E₂, D₃C₄D₅E₄ et D₅C₆D₇E₆ ;

- effacer les segments [O₁O₇], [B₁B₇] et [D₁D₇] ;

- repasser en pointillé noir les segments [A₂C₂], [A₄C₄], [A₆C₆], [B₃D₃] et [B₅D₅] ;

- repasser en pointillé rouge les segments [O₃B₃], [O₅B₅], [C₂E₂], [C₄E₄] et [C₆E₆] ;

- ajouter sept languettes trapèzes de bases adjacentes aux segments [O₁A₂], [A₂O₃], [O₃A₄], [A₄O₅], [O₅A₆], [A₆O₇] et [B₇D₇].

Découpage, pliage et collage :

Bien observer les deux flèches de collage des languettes avant de commencer la découpe.

Découper le patron et couper sur les traits en pointillé rouges (ceux situés à la base du patron).

Repasser les autres segments à la pointe sèche du compas pour casser légèrement les fibres du papier. Chaque segment en pointillé noir sera un pli « vallée » et chaque segment en trait plein noir sera un pli « montagne ».

Coller les 6 languettes du haut du patron de manière à constituer 6 tétraèdres avec des faces de couleurs différentes. Assemblés entre eux grâce à la 7ème languette, ils constitueront un anneau de tétraèdres.

Plus bas, des fichiers au format pdf sont à télécharger (imprimer 1 feuille du patron sur du papier A4 simple de 80g/m² ou 90g/m²).

Logiciel de géométrie dynamique 2D et 3D en ligne :

(Cliquer sur le logo du logiciel).

Fiche de la Math'@ctivité 3D "kaléïdocycle irrégulier d'ordre 6" à télécharger :

La fiche complète au format pdf : .

Fiches des patrons à télécharger :

A télécharger en cliquant sur les images suivantes :

- le patron du kaléïdocycle irrégulier d'ordre 6 à imprimer en 1 exemplaire sur une feuille A4 (environ 80g/m²) : .
Pour finir, il ne restera plus qu'à décorer le kaléïdocycle irrégulier d'ordre 6, le découper et le plier en suivant bien toutes les indications données précédemment. Et il sera alors manipulable. Un petit objet bien mignon.

Et pour les plus "pressés", ci-après, des kaléïdocycles irréguliers d'ordre 6 déjà décorés... :

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Fiche de la Math'@ctivité 3D " Coupes d'un kaléïdocycle irrégulier d'ordre 6", kaleïdocycle irrégulier fermé d'ordre 6 déformable, à télécharger :

La fiche complète au format pdf : .

Fiches des patrons à télécharger :

A télécharger en cliquant sur les images suivantes :

- le patron des coupes du kaléïdocycle irrégulier d'ordre 6 déformable à imprimer en 1 + 11 exemplaires sur une feuille A4 (environ 80g/m²) : .
Pour finir, il ne restera plus qu'à décorer le kaléïdocycle irrégulier d'ordre 6, le découper et le plier en suivant bien toutes les indications données précédemment. Et il sera alors manipulable. Un petit objet bien mignon.



La méthode des enveloppes pour construire facilement des kaléïdocycles irréguliers fermés d'ordres 6 ou 8 (image à afficher en plus grand en cliquant dessus) :

Et pour les plus "pressés", ci-après, des figures (motifs) à imprimer (si possible sur des autocollants) pour les coller sur des kaléïdocycles irréguliers d'ordre 6 ou ses coupes par rapport à deux plans de symétrie :

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Liens Internet : mes incontournables...

..................... En lien préféré (forcément l'un de mes articles) : Les kaléïdocycles irréguliers fermés (fichier pdf à télécharger).

Site officiel de la fondation Paul SCHATZ, l'inventeur du cube inversible (kaléïdocycle, coupe par rapport à deux plans de symétrie du kaléïdocycle irrégulier fermé d'ordre 6) et de la démonstration de sa propriété, et aussi inventeur de l'oloïd !!!

Cube inversible de Paul SCHATZ dans les aires guidé par un smartphone : Festo SmartInversion, une vidéo superbe !

Les Mathématiques magiques : Venez au pays des Mathématiques magiques malicieuses et... très sérieuses. Vous découvrirez des tours de magie interactifs, de la télépathie..., des énigmes, cours et exercices animés, des jeux, des puzzles magiques, des illusions géométriques animées, des paradoxes, de la géométrie et des pavages dynamiques, des opérations anciennes interactives, des trucs malins, des anecdotes historiques, et de très nombreuses animations flash (Visibles sur PC), dans le grenier à malices mathématiques de Thérèse EVEILLEAU. Pour obtenir la page concernant le kaléïdocycle, cliquer sur le lien suivant : http://pagesperso-orange.fr/therese.eveilleau/pages/truc_mat/textes/kaleidocycle.htm.
Un site MAGNIFIQUE !!

Ce site allemand de Jürgen Köller est un site fantastique de pliages, de jeux et d'objets mathématiques. Ce lien est l'accès direct à sa page "kaléïdocycles" (en anglais) où vous en trouverez de différents types et bons nombres de liens de sites très intéressants.

Le site de Hubert Martineau est un site, entre autres, de solides et figures en langage Java (accompagnés de calculs). C'est un plaisir d'y animer à l'aide de la souris certains solides comme ceux de Platon. Pour obtenir la page concernant les kaléïdocycles, cliquer sur le lien suivant : http://pagesperso-orange.fr/math.lemur/3d/kalei.htm. Ne vous laisser pas déstabiliser par les calculs si vous découvrez les mathématiques, rendez- vous à sa page "départ" et allez voir...

Une balade dans le monde des polyèdres est un site de Maurice Starck (Nouvelle-Calédonie) dédié aux polyèdres comme l'indique le titre. Des patrons de kaléïdocycles appelés aussi grilles d'IsoAxis, créées et brevetées par le dessinateur Wallace Walker, y sont présentées.

Les superbes animations de Marcus Engel (applet Java avec tous les types de kaléïdocycles).

Sur ce site, à partir de vos photographies personnelles, vous pouvez faire des patrons de kaléïdocycles en ligne.

Sur ce site, vous apprendrez à faire des kaléïdocycles avec des perles : Contemporary Geometric Beadwork: KALEIDOCYCLE JOINS, Part One.

Pour obtenir des informations complémentaires sur une place possible de cette Math'@ctivité dans les programmes d'enseignement des mathématiques de l'Éducation Nationale Française ainsi que : des conseils pédagogiques (voire didactiques), des exercices et éléments de cours à différents niveaux de classes, d'autres programmes de construction, des fichiers à télécharger,etc., cliquer sur l'icône précédente puis accéder à mon 'Portail' Éducation et chercher dans la rubrique "Utilisation de Math'@ctivités dans l'enseignement", ou visiter les autres rubriques...

..................... Compte-rendu du projet kaléïdocycle réalisé en classe de 6^ème au Collège Public Pierre Périn de Tremblay (35).

..................... Compte-rendu de l'atelier cité ci-dessus.
..................... Fiche distribuée lors de mes ateliers animés aux journées de l'APMEP (Association des Professeurs de Mathématiques de l'Enseignement Public) à Rouen les 25 et 26 octobre 2009.
..................... Article paru dans le Bulletin Vert n°493 de l'APMEP, compte rendu d'un atelier (le n°107) aux journées nationales à Paris en 2010 : Les kaléïdocycles irréguliers fermés de Carole LE BELLER (fichier pdf à télécharger).

Bonne lecture !

Des fichiers d'impression 3D et de découpe automatique ou laser sont disponibles sur mon site à l'adresse : http://www.art3d.fr.