Math'@ctivité, une marque déposée

Math'@ctivité 3D

(Les sommaires sont dans les onglets en haut de page et le '@' ci-dessus permet d'accéder à l'accueil du site)

Kaléïdocycle d'ordre 6






Le kaléïdocycle est une Math'@ctivité 3D.
Son patron peut se faire à la main avec des instruments de géométrie traditionnels qui sont ici : la règle graduée, l'équerre et le compas.
Il peut aussi se faire à l'aide de l'ordinateur et entre autres, avec le logiciel de géométrie 2D : 'geoplanW' (dont l'activX est gratuit ainsi que la version antérieure à celle de 2003) ou avec le logiciel libre : 'Déclic32' ou les logiciels en ligne : 'InstrumenPoche' ou 'TracenPoche' ou 'GeoGebra'.


Le résultat final est un anneau de 6 tétraèdres à la façon d'Escher et il est manipulable. Il est un objet en 3 dimensions (3D). Pour voir le kaléïdocycle en action, cliquer sur l'animation ci-contre puis sur le bouton play. Dans cette vidéo, le modèle est un agrandissement de celui dont le patron est détaillé ci-dessous.
Pour voir une autre animation vidéo, cliquer sur l'icône suivante ("V" comme vidéo) puis 2 fois sur le bouton "play" : Vidéo, Vidéo.
Infos... Pourquoi ce nom kaléïdocycle ? : Image du kaléïdocycle.

"Kaléïdocycle" vient du grec. kalos : beau, eidos : aspect, et kuklos : cercle.

Un "kaléïdocycle d’ordre 6" est un anneau de 6 tétraèdres ayant pour faces des triangles. Lorsqu'il est régulier, les triangles sont équilatéraux. Le kaléidocycle, présenté dans cette page est un kaléïdocycle irrégulier, les faces des tétraèdres sont isocèles. Lorsqu’on le manipule, l’anneau subit une rotation de 180° sur lui-même. Cette rotation "retourne" chaque tétraèdre mais conserve l'anneau dans son ensemble. Ce kaléïdocycle laisse apparaître 4 faces différentes constituées chacune de 3 losanges composés de deux triangles isocèles chacun (une face de chaque tétraèdre, soient 6 triangles). Ces faces sont agencées d’une autre façon lorsqu’on retourne le kaléïdocycle. La figure du modèle de cette fiche fait l’objet d’une Math’@ctivité 2D : « Rosace trilobée pour un kaléïdocycle irrégulier d’ordre 6 ».

Le modèle de kaléidocycle de cette page web est construit, entre autres, à partir de rectangles dit "rectangles barlongs".
Le rectangle dit « rectangle barlong » (adj. Lat. bis, deux fois, et long) est un rectangle composé de deux carrés accolés identiques. Ce rectangle permet de tracer le rectangle d’or et de déterminer le nombre d’or phi, la divine proportion (avec phi = 1,618 034). Ce tracé détermine aussi les éléments de la « quine » des bâtisseurs romans (la paume et la palme en fonction du pied). L’angle aigu en le sommet principal de chaque triangle isocèle est d’environ 53,13°, angle ayant un lien avec le nombre d’or.
(cf. livre : La géométrie du nombre d’or de Robert Vincent – Chalagram Edition, 3ème édition, mars 2001).

Matériel nécessaire pour la construction de ce kaléïdocycle :

  • instruments de géométrie : règle graduée, équerre et compas ;
  • 1 feuille A4 (grammage : environ 80g/m² ou 90g/m²) ;
  • colle à papier ;
  • ciseaux, crayon à papier et crayons de couleur.

  • Programme de construction (savoirs et savoir-faire mathématiques : propriétés du rectangle et du losange, quadrilatère, la médiatrice d’un segment, les diagonales et le centre d’un rectangle, triangle isocèle en un sommet, carré, un point d’intersection entre deux droites, symétrie axiale, tétraèdre, et le vocabulaire géométrique correspondant. Orientation paysage et position horizontale.) : Image d'un patron de kaléïdocycle irrégulier d'ordre 6

  • Construction du patron du kaléïdocycle irrégulier d'ordre 6 :
  • - placer le point O1 en haut du côté gauche de la feuille A4 orientation paysage ;

    - construire un rectangle O1O3B3B1 dit « rectangle barlong(1) » de longueur 8 cm et de largeur 4 cm. Sa longueur sera à l’horizontale ;

    - tracer ses diagonales. Leur point d’intersection A2 est le centre de O1O3B3B1 ;

    - tracer la médiatrice du segment [O1O3]. Ses deux points d’intersection avec les deux longueurs du rectangle sont O2 et B2. Les quadrilatères O1O2B2B1 et O2O3B3B2 sont deux carrés accolés identiques ;

    - reproduire la figure obtenue deux fois sachant que le second rectangle barlong O3O5B5B3 a l’une de ses largeurs commune avec celui déjà construit et le troisième O5O7B7B5 a l’une de ses largeurs commune avec le second ;

    - construire la figure symétrique par rapport à l’axe [B1B7] de l’ensemble des figures ;

    - les centres des trois rectangles barlongs, nommés B1B3D3D1, B3B5D5D3 et B5B7D7D5, sont C2, C4 et C6 ;

    - construire trois losanges D1C2D3E2, D3C4D5E4 et D5C6D7E6 ;

    - effacer les segments [O1O7], [B1B7] et [D1D7] ;

    - repasser en pointillé noir les segments [A2C2], [A4C4], [A6C6], [B3D3] et [B5D5] ;

    - repasser en pointillé rouge les segments [O3B3], [O5B5], [C2E2], [C4E4] et [C6E6] ;

    - ajouter sept languettes trapèzes de bases adjacentes aux segments [O1A2], [A2O3], [O3A4], [A4O5], [O5A6], [A6O7] et [B7D7].



    Image d'un patron d'un kaléïdocycle irrégulier d'ordre 6

    Découpage, pliage et collage :

  • Bien observer les deux flèches de collage des languettes avant de commencer la découpe.
  • Découper le patron et couper sur les traits en pointillé rouges (ceux situés à la base du patron).
  • Repasser les autres segments à la pointe sèche du compas pour casser légèrement les fibres du papier. Chaque segment en pointillé noir sera un pli « vallée » et chaque segment en trait plein noir sera un pli « montagne ».
  • Coller les 6 languettes du haut du patron de manière à constituer 6 tétraèdres avec des faces de couleurs différentes. Assemblés entre eux grâce à la 7ème languette, ils constitueront un anneau de tétraèdres.




  • Plus bas, des fichiers au format pdf sont à télécharger (imprimer 1 feuille du patron sur du papier A4 simple de 80g/m² ou 90g/m²).



    Logiciel de géométrie 2D en ligne :

    Lien vers InstrumenPoche Lien vers TracenPoche Lien vers GeoGebra (Cliquer sur le logo du logiciel en ligne souhaité).

    Fiche de la Math'@ctivité 3D "kaléïdocycle irrégulier d'ordre 6" à télécharger :

    La fiche complète au format pdf : Image de la fiche.

    Fiches des patrons à télécharger :

    A télécharger en cliquant sur les images suivantes :

    - le patron du kaléïdocycle irrégulier d'ordre 6 à imprimer en 1 exemplaire sur une feuille A4 (environ 80g/m²) : Image de la fiche.
    Pour finir, il ne restera plus qu'à décorer le kaléïdocycle irrégulier d'ordre 6, le découper et le plier en suivant bien toutes les indications données précédemment. Et il sera alors manipulable. Un petit objet bien mignon.



    Et pour les plus "pressés", ci-après, des kaléïdocycles irréguliers d'ordre 6 déjà décorés... :

    Image de la fiche, Image de la fiche, Image de la fiche, Image de la fiche.

    Liens Internet : mes incontournables...

    ..................... Image extraite du dossier En lien préféré (forcément l'un de mes articles) : Les kaléïdocycles irréguliers fermés (fichier pdf à télécharger).
    Bonne lecture !

    Les Mathématiques magiques : Venez au pays des Mathématiques magiques malicieuses et... très sérieuses. Vous découvrirez des tours de magie interactifs, de la télépathie..., des énigmes, cours et exercices animés, des jeux, des puzzles magiques, des illusions géométriques animées, des paradoxes, de la géométrie et des pavages dynamiques, des opérations anciennes interactives, des trucs malins, des anecdotes historiques, et de très nombreuses animations flash, dans le grenier à malices mathématiques de Thérèse EVEILLEAU. Pour obtenir la page concernant le kaléïdocycle, cliquer sur le lien suivant : http://pagesperso-orange.fr/therese.eveilleau/pages/truc_mat/textes/kaleidocycle.htm.
    Un site MAGNIFIQUE !!

    Cliquer sur cette image pour accéder au site. Ce site allemand de Jürgen Köller est un site fantastique de pliages, de jeux et d'objets mathématiques. Ce lien est l'accès direct à sa page "kaléïdocycles" (en anglais) où vous en trouverez de différents types et bons nombres de liens de sites très intéressants.

    Cliquer sur cette image pour accéder au site. Le site de Hubert Martineau est un site, entre autres, de solides et figures en langage Java (accompagnés de calculs). C'est un plaisir d'y animer à l'aide de la souris certains solides comme ceux de Platon. Pour obtenir la page concernant les kaléïdocycles, cliquer sur le lien suivant : http://pagesperso-orange.fr/math.lemur/3d/kalei.htm. Ne vous laisser pas déstabiliser par les calculs si vous découvrez les mathématiques, rendez- vous à sa page "départ" et allez voir...

    Cliquer sur cette image pour accéder au site. Une balade dans le monde des polyèdres est un site de Maurice Starck (Nouvelle-Calédonie) dédié aux polyèdres comme l'indique le titre. Des patrons de kaléïdocycles appelés aussi grilles d'IsoAxis, créées et brevetées par le dessinateur Wallace Walker, y sont présentées.

    Cliquer sur cette image pour accéder au site. Les superbes animations de Marcus Engel (applet Java avec tous les types de kaléïdocycles).

    Cliquer sur cette image pour accéder au site. Sur ce site, à partir de vos photographies personnelles, vous pouvez faire des patrons de kaléïdocycles en ligne.

    Lien vers le 'Portail' Education puis Utilisation de Math'@ctivités dans l'enseignementPour obtenir des informations complémentaires sur une place possible de cette Math'@ctivité dans les programmes d'enseignement des mathématiques de l'Éducation Nationale Française ainsi que : des conseils pédagogiques (voire didactiques), des exercices et éléments de cours à différents niveaux de classes, d'autres programmes de construction, des fichiers à télécharger,etc., cliquer sur l'icône précédente puis accéder à mon 'Portail' Éducation et chercher dans la rubrique "Utilisation de Math'@ctivités dans l'enseignement", ou visiter les autres rubriques...

    ..................... Image extraite du dossierCompte-rendu du projet kaléïdocycle réalisé en classe de 6ème au Collège Public Pierre Périn de Tremblay (35).

    ..................... Cliquer sur cette image pour accéder au résumé. Résumé de l'atelier animé à l'IREM (Institut de Recherche de l'Enseignement des Mathématiques) de Rennes le 15 mai 2009.
    ..................... Image extraite du 4 pagesCompte-rendu de l'atelier cité ci-dessus.
    ..................... Image extraite de la fiche. Fiche distribuée lors de mes ateliers animés aux journées de l'APMEP (Association des Professeurs de Mathématiques de l'Enseignement Public) à Rouen les 25 et 26 octobre 2009.
    ..................... Image extraite du dossier Article paru dans le Bulletin Vert n°493 de l'APMEP, compte rendu d'un atelier (le n°107) aux journées nationales à Paris en 2010 : Les kaléïdocycles irréguliers fermés de Carole LE BELLER (fichier pdf à télécharger).
    Bonne lecture !

    Date de création de cette page : 15/05/2008. Et dernière mise à jour : 25/11/2010


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