Math'@ctivité, une marque déposée

Math'@ctivité 3D

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Flexagone






Le flexagone est une Math'@ctivité 3D.
Son patron peut se faire à la main avec des instruments de géométrie traditionnels qui sont ici : la règle graduée et le compas.
Il peut aussi se faire à l'aide de l'ordinateur et entre autres, avec le logiciel de géométrie 2D : 'geoplanW' (dont l'activX est gratuit ainsi que la version antérieure à celle de 2003) ou avec le logiciel libre : 'Déclic32' ou les logiciels en ligne : 'InstrumenPoche' ou 'TracenPoche' ou 'GeoGebra'.


Le résultat final est un anneau de moebius à la façon d'Escher et il est manipulable. Il se range dans une pochette d'origami lui servant de présentoir. Ce sont des objets en 3 dimensions (3D) même si le flexagone est applati lorsqu'il n'est pas manipulé. Pour voir le flexagone en action, cliquer sur l'animation ci-contre puis sur le bouton play.
Pour voir une autre animation vidéo, cliquer sur l'icône suivante ("V" comme vidéo) puis 2 fois sur le bouton "play" : Vidéo.
Infos... Pourquoi ce nom flexagone ? :

Sa définition est précisée dans Wikipédia, une encyclopédie libre sur Internet :

"Le flexagone est un objet topologique issu du ruban de Moebius. Il existe plusieurs formes de flexagones mais la plus connue est le trihexaflexagone : un hexagone formé de [...] triangles équilatéraux pliés à partir d'une bande de papier. Le flexagone a été découvert par Arthur Stone en 1939, alors qu'il étudiait à Princeton. L'objet enthousiasma plusieurs personnes qui fondèrent un "Comité d'investigation chargé d'enquêter sur les propriétés du flexagone"." Extrait de http://fr.wikipedia.org/wiki/Flexagone. Le flexagone présenté dans cette page serait alors un trihexaflexagone.

Au 29/10/2007, il était précisé dans cette encyclopédie qu'un trihexaflexagone a 10 triangles équilatéraux or c'est une erreur puisque 9 suffisent pour obtenir ce type de flexagone. 3 hexagones composés de 6 trianges équilatéraux soient 3*6=18. Comme chaque triangle équilatéral a un verso et un recto, le trihexaflexagone a seulement 18:2=9 triangles équilatéraux. L'éventuel 10ème servant de languette.


Le trihexaflexagone est un anneau de Moebius à trois demi-torsions. Le bord d'un trihexaflexagone est un noeud de trèffle. Le flexagone est une représentation ludique d'une toute petite partie de la théorie des noeuds en mathématiques.

Le flexagone est une sorte de casse-tête puisqu'il a des faces cachées qui se dévoilent lorsqu'on le manipule.

Matériel nécessaire pour le flexagone et sa pochette-présentoir :

  • instruments de géométrie : règle graduée et compas ;
  • 1 feuille A4 (grammage : environ 80g/m² ou 90g/m²) pour le flexagone ;
  • 1 feuille A4 (grammage : environ 80g/m² ou 90g/m²) pour sa pochette-présentoir ;
  • colle à papier ;
  • ciseaux, crayon à papier et crayons de couleur ou peinture.

  • Programme de construction (savoirs et savoir-faire mathématiques : propriétés du triangle équilatéral et du triangle isocèle, médiatrice d’un segment, cercle circonscrit au triangle équilatéral, hexagone, et le vocabulaire géométrique correspondant : cercle, rayon, centre, point d’intersection, sommet, etc.) : Image d'un patron de flexagone sans languette d'assemblage

  • Construction du patron du flexagone :
  • - placer le point O0 au milieu du côté gauche de la feuille A4 au format ‘paysage’ ;

    - tracer la droite horizontale passant par O0, la noter (d) ;

    - construire c0 le cercle de centre O0 et de rayon 5 cm ;

    - placer le point d’intersection entre la droite (d) et le cercle c0, le noter O1 ;

    - construire c1 le cercle de centre O1 et de rayon O1O0 ;

    - placer le 2ème point d’intersection entre la droite (d) et le cercle c1, le noter O2 ;

    - construire c2 le cercle de centre O2 et de rayon O1O0 ;

    - continuer de placer les points d’intersection et de construire les cercles jusqu’à c5 et O5 ;

    - placer les points : A1 point d'intersection 1 des cercles c0 et c1, B1 point d'intersection 2 des cercles c0 et c1, …, jusqu’à B5 point d'intersection 2 des cercles c4 et c5 ;

    - tracer les hexagones : O0A1A2O2B2B1, O1A2A3O3B3B2, O2A3A4O4B4B3 et O3A4A5O5B5B4 ;

    - tracer les segments : [O0A1], [O1B1], [O4A5] et [O4B5] ;

    - ajouter une languette trapèze de base adjacente au segment [B5O5] (elle est en vert sur le patron affiché plus bas).



    Image d'un patron de flexagone sans languette d'assemblage

  • Programme de construction du motif du flexagone :
  • - construire le centre D1 du cercle circonscrit au triangle O0A1O1 et tracer les segments [D1O0], [D1A1] et [D1O1] ;

    - refaire cette même dernière construction pour les 17 autres triangles ;

    - colorier, avec les couleurs primaires, les triangles isocèles ainsi obtenus comme ci-dessous (les triangles isocèles O0D1O1 et O0D1A1 en rouge, O1D1A1 laissé en blanc, etc.) :

    Découpage, pliage, collage et assemblage :

  • Découper. Effacer les traits inutiles. Avec une pointe sèche de compas et une règle, repasser les segments du patron pour casser les fibres du papier. Plier en deux le long de l’axe (O1O2) et coller les triangles superposés sauf les deux situés à l’extrémité opposée à la languette qui sont à coller à la fin.
  • Plier les triangles équilatéraux à la manière d'un anneau de Moebius c'est-à-dire qu'une extrémité est assemblée à l'autre en la retournant. Surprise ! Les triangles isocèles d’une même couleur sont rassemblés sur une même face du flexagone. Il y 6 faces possibles. Il reste à manipuler le flexagone à la manière d’un anneau de Moebius.




  • Et si cela est difficile : regarder attentivement la vidéo et télécharger plus bas les fichiers au format pdf (imprimer 1 feuille du patron sur du papier A4 simple de 80g/m² ou 90g/m²). Le pliage de la pochette présentoire (à télécharger aussi) est présenté dans la vidéo jointe en cliquant sur l'icône suivante.



    Logiciel de géométrie 2D en ligne :

    Lien vers InstrumenPoche Lien vers TracenPoche Lien vers GeoGebra (Cliquer sur le logo du logiciel en ligne souhaité).

    Fiche de la Math'@ctivité 3D "flexagone" à télécharger :

    La fiche complète au format pdf : Image de la fiche.

    Liens Internet :

    Les Mathématiques magiques : Venez au pays des Mathématiques magiques malicieuses et... très sérieuses. Vous découvrirez des tours de magie interactifs, de la télépathie..., des énigmes, cours et exercices animés, des jeux, des puzzles magiques, des illusions géométriques animées, des paradoxes, de la géométrie et des pavages dynamiques, des opérations anciennes interactives, des trucs malins, des anecdotes historiques, et de très nombreuses animations flash, dans le grenier à malices mathématiques de Thérèse EVEILLEAU. Pour obtenir la page concernant le flexagone, cliquer sur le lien suivant : http://perso.orange.fr/therese.eveilleau/pages/truc_mat/textes/flexagone.htm.
    Un site MAGNIFIQUE !!

    Cliquer sur cette image pour accéder au site. Le site Kangourou des Mathématiques est un site de vente de documents et d'objets mathématiques qui au-delà de la vente d'un flexagone à construire, présente l'objet magique dans sa rubrique "flexagone".

    Cliquer sur cette image pour accéder au site. Aleph est un site de casse-tête, enigmes et problèmes mathématiques, problèmes de Sam Loyd. Cette page est dédiée au flexagone

    Cliquer sur cette image pour accéder au site. Mathematische Basteleien est un site allemand génial dédié à des curiosités mathématiques à construire dont cette page, en anglais, réservée aux flexagones.

    Cliquer sur cette image pour accéder au site. Le site EighthSquare.com est un site, en anglais, où quelques pages sont dédiées aux flexagones mais ceux-ci ne sont pas des trihexaflexagones. L'une des pages concerne l'histoire du flexagone.

    Cliquer sur cette image pour accéder au site. Dans son site, en anglais, Jill Britton propose un logiciel libre permettant d'insérer des photographies dans des trihexaflexagones à imprimer. Le patron n'est pas le même que celui de Math'@ctivité mais son pliage s'effectue sur le même principe : pliage en deux, puis en accordéon et enfin en anneau de Moebius.

    Une définition du ruban de Moebius dans l'encyclopédie gratuite en ligne Wikipedia.

    Une présentation de découverte du ruban de Moebius par l'expérimentation faite par un jeune.

    Une présentation essentiellement mathématique du ruban de Möbius et des références au graveur M.C. Escher sont écrites par Robert Ferréol et ses co-auteurs.

    Dans cette page de Robert Ferréol, il est question du noeud de trèfle. Le bord d'un trihexaflexagone en est un.

    Un lien vers la page Notion sur la théorie des nœuds de la petite chronologie des maths de Serge Mehl.

    Cliquer sur cette image pour accéder au site. Bienvenue sur Wikipédia, projet d’encyclopédie librement distribuable que chacun peut améliorer.

    Lien vers le 'Portail' Education puis Utilisation de Math'@ctivités dans l'enseignementPour obtenir des informations complémentaires sur une place possible de cette Math'@ctivité dans les programmes d'enseignement des mathématiques de l'Éducation Nationale Française ainsi que : des conseils pédagogiques (voire didactiques), des exercices et éléments de cours à différents niveaux de classes, d'autres programmes de construction, des fichiers à télécharger,etc., cliquer sur l'icône précédente puis accéder à mon 'Portail' Éducation et chercher dans la rubrique "Utilisation de Math'@ctivités dans l'enseignement", ou visiter les autres rubriques...

    Date de dernière mise à jour de cette page : 06/02/2008.


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